고졸 수학 · 근과 계수의 관계
고졸 검정고시 수학의 「근과 계수의 관계」을 정리했습니다. 공식과 예제, 실제 기출에서 어떻게 나왔는지까지 한 페이지로 봅니다.
근과 계수의 관계이란
이차방정식 ax² + bx + c = 0의 두 근을 α, β라 하면 두 근의 합과 곱을 계수만으로 구할 수 있습니다. 근을 구하지 않고 α + β, αβ를 이용하는 문항에 씁니다.
꼭 외울 식
- α + β = −b/a
- αβ = c/a
- α² + β² = (α+β)² − 2αβ
먼저 직접 풀어 보기
문제 x² − 5x + 3 = 0의 두 근을 α, β라 할 때 α² + β²의 값을 구하시오.
풀이 보기
α + β = 5, αβ = 3입니다. α² + β² = 25 − 6 = 19입니다.
푸는 순서
- 두 근의 합 −b/a, 곱 c/a를 먼저 적는다
- 구하는 식을 합과 곱으로 바꿔 쓴다
- 합과 곱을 대입해 계산한다
기출과 비슷한 형태로
문제 x² + 3x − 2 = 0의 두 근을 α, β라 할 때 1/α + 1/β의 값을 구하시오.
풀이 보기
1/α + 1/β = (α + β)/αβ입니다. α + β = −3, αβ = −2이므로 값은 3/2입니다.
두 문제 가운데 하나라도 막혔다면, 첫 체험 수업에서 바로 이 부분부터 짚어 드립니다. 무료 체험으로 확인하기
시험에 나온 모습
분석한 3개 회차에서 이 개념을 직접 묻는 문항이 2번 나왔습니다.
- 6 근과 계수의 관계 — 두 근의 곱 2025년 제1회
- 6 근과 계수의 관계·판별식 2025년 제2회
감점 포인트
두 근의 합에서 마이너스를 빠뜨리는 실수가 가장 많습니다. 합은 −b/a, 곱은 c/a로 부호가 다르다는 점을 매번 확인합니다.
구분해 두면 좋은 것
근과 계수의 관계와 근의 공식은 목적이 다릅니다. 근의 공식은 근 자체를 구하고, 근과 계수의 관계는 근을 구하지 않고 합과 곱을 이용합니다. α² + β²처럼 대칭인 식을 물으면 근과 계수의 관계가 훨씬 빠릅니다.
x² 계수가 1이 아니면 어떻게 하나요?
공식이 −b/a, c/a이므로 a로 나누는 것을 잊지 않으면 됩니다. 예를 들어 2x² − 6x + 4 = 0이면 두 근의 합은 3, 곱은 2입니다. 방정식 전체를 먼저 a로 나눠 두는 방법도 있습니다.