고졸 수학 · 판별식
수학에서 「판별식」 문항은 공식 하나를 정확히 쓰느냐로 점수가 갈립니다. 외울 식, 예제, 흔한 실수를 차례로 봅니다.
먼저 개념부터
이차방정식 ax² + bx + c = 0의 근이 어떤 종류인지는 판별식 D = b² − 4ac의 부호로 알 수 있습니다. 근을 직접 구하지 않고도 근의 개수와 종류를 판단하는 도구입니다.
꼭 외울 식
- D > 0 : 서로 다른 두 실근
- D = 0 : 중근 (서로 같은 두 실근)
- D < 0 : 서로 다른 두 허근
- 일차항 계수가 짝수(b = 2b′)이면 D/4 = b′² − ac로 계산이 빠름
먼저 직접 풀어 보기
문제 x² + 6x + k = 0이 중근을 가질 때 k의 값을 구하시오.
풀이 보기
중근 조건은 D = 0입니다. D/4 = 9 − k = 0이므로 k = 9입니다.
적용하는 방법
- 이차방정식을 ax² + bx + c = 0 꼴로 정리한다
- 문제의 조건(서로 다른 실근, 중근, 허근)에 맞는 부등호를 고른다
- D 또는 D/4를 계산해 미지수의 범위나 값을 구한다
한 단계 응용
문제 x² − 4x + k = 0이 서로 다른 두 실근을 가질 때 k의 범위를 구하시오.
풀이 보기
D/4 = 4 − k > 0이어야 하므로 k < 4입니다.
두 문제 가운데 하나라도 막혔다면, 첫 체험 수업에서 바로 이 부분부터 짚어 드립니다. 무료 체험으로 확인하기
판별식 기출 기록
분석한 3개 회차에서 이 개념을 직접 묻는 문항이 3번 나왔습니다.
- 5 판별식 — 서로 다른 두 실근 2025년 제1회
- 6 근과 계수의 관계·판별식 2025년 제2회
- 6 판별식 — 중근 조건 2026년 제2회
판별식에서 틀리는 곳
"실근을 갖는다"는 조건을 D > 0으로만 쓰는 실수가 많습니다. 중근도 실근이므로 "실근을 갖는다"는 D ≥ 0입니다.
구분해 두면 좋은 것
판별식과 근의 공식은 같은 식에서 나옵니다. 근의 공식의 루트 안에 있는 b² − 4ac가 판별식이라서, 이 값이 음수면 루트 안이 음수가 되어 허근이 나옵니다.
D/4는 언제 쓰나요?
일차항 계수 b가 짝수일 때 씁니다. b = 2b′로 놓으면 D/4 = b′² − ac가 되어 계산이 작아집니다. 부호만 판단하면 되는 문항이 많아서 D 대신 D/4를 써도 결론은 같습니다.