고졸 수학 · 부분집합과 부분집합의 개수
고졸 검정고시 수학의 「부분집합과 부분집합의 개수」을 정리했습니다. 공식과 예제, 실제 기출에서 어떻게 나왔는지까지 한 페이지로 봅니다.
먼저 개념부터
집합 A의 모든 원소가 집합 B에 속할 때 A를 B의 부분집합이라 하고 A ⊂ B로 씁니다. 원소가 n개인 집합의 부분집합은 2ⁿ개이며, 특정 원소를 포함하거나 포함하지 않는 부분집합의 개수도 같은 원리로 셉니다.
부분집합과 부분집합의 개수 공식
- A ⊂ B: A의 모든 원소가 B에 속함
- 공집합 ∅는 모든 집합의 부분집합, 모든 집합은 자기 자신의 부분집합
- 원소가 n개인 집합의 부분집합 개수: 2ⁿ, 진부분집합 개수: 2ⁿ − 1
- 특정 원소 k개를 반드시 포함(또는 제외)하는 부분집합: 2ⁿ⁻ᵏ
직접 풀어 보기
문제 집합 {1, 2, 3}의 부분집합의 개수를 구하시오.
풀이 보기
원소가 3개이므로 2³ = 8개입니다.
적용하는 방법
- 집합의 원소 개수 n을 센다
- 조건이 없으면 2ⁿ, 특정 원소 조건이 있으면 그 원소를 빼고 남은 개수로 계산한다
- 진부분집합이면 자기 자신 하나를 뺀다
예제 하나 더
문제 집합 {1, 2, 3, 4}에서 1을 반드시 원소로 갖는 부분집합의 개수를 구하시오.
풀이 보기
1은 이미 정해졌으므로 나머지 원소 3개로 만드는 경우와 같아 2³ = 8개입니다.
두 문제 가운데 하나라도 막혔다면, 첫 체험 수업에서 바로 이 부분부터 짚어 드립니다. 무료 체험으로 확인하기
실제 출제 기록
분석한 3개 회차에서는 이 개념을 직접 묻는 문항이 없었습니다. 다만 집합과 명제 단원의 다른 문항을 풀 때 함께 쓰이는 경우가 많아 정리해 둘 가치가 있습니다.
이것만은 조심
원소와 부분집합을 혼동하는 실수가 있습니다. 1 ∈ {1, 2}는 원소 관계이고, {1} ⊂ {1, 2}는 부분집합 관계입니다. 기호 ∈와 ⊂를 구분해야 합니다.
헷갈리는 개념과 구분하기
부분집합과 진부분집합은 자기 자신을 포함하는지가 다릅니다. 부분집합은 자기 자신을 포함하고, 진부분집합은 자기 자신을 뺀 것입니다.
공집합은 왜 모든 집합의 부분집합인가요?
공집합에는 원소가 없어서 "모든 원소가 B에 속한다"는 조건을 어기는 원소가 하나도 없기 때문입니다. 그래서 어떤 집합에 대해서도 부분집합이 됩니다.