고졸 수학 · 필요조건과 충분조건
수학에서 「필요조건과 충분조건」 문항은 공식 하나를 정확히 쓰느냐로 점수가 갈립니다. 외울 식, 예제, 흔한 실수를 차례로 봅니다.
필요조건과 충분조건이란
명제 p → q가 참일 때 p는 q이기 위한 충분조건, q는 p이기 위한 필요조건입니다. 진리집합으로 바꾸면 "작은 쪽이 충분, 큰 쪽이 필요"로 정리됩니다.
공식 정리
- p → q 참 ⇔ P ⊂ Q (P, Q는 진리집합)
- p는 q이기 위한 충분조건, q는 p이기 위한 필요조건
- p → q, q → p 모두 참이면 필요충분조건 (P = Q)
먼저 직접 풀어 보기
문제 p: x = 2, q: x² = 4일 때 p는 q이기 위한 어떤 조건인지 쓰시오.
풀이 보기
P = {2}, Q = {−2, 2}이므로 P ⊂ Q입니다. 따라서 p는 q이기 위한 충분조건입니다.
적용하는 방법
- p와 q의 진리집합 P, Q를 구한다
- 어느 집합이 다른 집합에 포함되는지 확인한다
- 작은 쪽이 충분조건, 큰 쪽이 필요조건
조건이 붙은 문제
문제 p: x > 3, q: x > 1일 때 q는 p이기 위한 어떤 조건인지 쓰시오.
풀이 보기
P = {x | x > 3} ⊂ Q = {x | x > 1}이므로 p → q가 참입니다. q는 p이기 위한 필요조건입니다.
두 문제 가운데 하나라도 막혔다면, 첫 체험 수업에서 바로 이 부분부터 짚어 드립니다. 무료 체험으로 확인하기
기출에서는 어떻게 나왔나요?
분석한 3개 회차에서 이 개념을 직접 묻는 문항이 1번 나왔습니다.
- 15 필요조건과 진리집합 2025년 제1회
이것만은 조심
필요와 충분을 반대로 쓰는 실수가 거의 전부입니다. 화살표의 출발점이 충분조건, 도착점이 필요조건이라고 한 번 정해 두고 매번 같은 방식으로 판단합니다.
비슷한 개념과의 차이
필요충분조건은 두 방향이 모두 참일 때입니다. p → q와 q → p가 함께 참이면 두 진리집합이 같고, 이때 p와 q는 서로의 필요충분조건입니다. 한쪽만 참이면 필요조건 또는 충분조건 중 하나입니다.
반례로 판단해도 되나요?
됩니다. p → q가 거짓임을 보이려면 p는 만족하지만 q는 만족하지 않는 예를 하나 찾으면 충분합니다. 예를 들어 x² = 4이면 x = 2라는 명제는 x = −2라는 반례 때문에 거짓입니다.