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고졸 수학 · 이차함수의 그래프와 이차방정식

수학에서 「이차함수의 그래프와 이차방정식」 문항은 공식 하나를 정확히 쓰느냐로 점수가 갈립니다. 외울 식, 예제, 흔한 실수를 차례로 봅니다.

「이차함수의 그래프와 이차방정식」 핵심

이차함수 y = ax² + bx + c의 그래프가 x축과 만나는 점의 x좌표는 이차방정식 ax² + bx + c = 0의 실근입니다. 그래서 판별식으로 그래프와 x축의 위치 관계를 알 수 있습니다.

공식 정리

이차함수의 그래프와 이차방정식 예제로 확인

문제 y = x² − 4x + k의 그래프가 x축에 접할 때 k의 값을 구하시오.

풀이 보기

접하려면 판별식이 0이어야 합니다. D/4 = 4 − k = 0이므로 k = 4입니다.

푸는 순서

  1. x축이면 y = 0, 직선이면 두 식을 같다고 놓는다
  2. 이차방정식으로 정리한다
  3. 판별식으로 위치 관계를 판단한다

기출과 비슷한 형태로

문제 y = x²과 y = 2x + 3의 그래프가 만나는 점의 x좌표를 구하시오.

풀이 보기

x² = 2x + 3에서 x² − 2x − 3 = 0, (x − 3)(x + 1) = 0이므로 x = 3 또는 x = −1입니다.

두 문제 가운데 하나라도 막혔다면, 첫 체험 수업에서 바로 이 부분부터 짚어 드립니다. 무료 체험으로 확인하기

이차함수의 그래프와 이차방정식 기출 기록

분석한 3개 회차에서는 이 개념을 직접 묻는 문항이 없었습니다. 다만 이차방정식과 이차함수 단원의 다른 문항을 풀 때 함께 쓰이는 경우가 많아 정리해 둘 가치가 있습니다.

이차함수의 그래프와 이차방정식에서 틀리는 곳

그래프와 직선의 교점을 구할 때 두 식을 빼지 않고 한쪽만 0으로 놓는 실수가 있습니다. 두 식을 같다고 놓고 한쪽으로 모아 정리해야 합니다.

헷갈리는 개념과 구분하기

x축과의 교점과 y축과의 교점은 구하는 방법이 다릅니다. x축과의 교점은 y = 0을, y축과의 교점은 x = 0을 대입합니다.

그래프가 항상 x축보다 위에 있을 조건은?

x² 계수가 양수이고 판별식이 음수이면 그래프가 x축과 만나지 않고 항상 위에 있습니다. 이 조건은 이차부등식이 모든 실수에서 성립할 조건과 같습니다.

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