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고졸 수학 · 제한된 범위에서 이차함수의 최대·최소

고졸 검정고시 수학의 「제한된 범위에서 이차함수의 최대·최소」을 정리했습니다. 공식과 예제, 실제 기출에서 어떻게 나왔는지까지 한 페이지로 봅니다.

제한된 범위에서 이차함수의 최대·최소이란

x의 범위가 정해진 이차함수의 최댓값·최솟값은 꼭짓점의 위치에 따라 달라집니다. 꼭짓점이 범위 안에 있는지 먼저 확인하고, 꼭짓점과 범위 양 끝의 함숫값을 비교합니다.

꼭 외울 식

제한된 범위에서 이차함수의 최대·최소 예제로 확인

문제 1 ≤ x ≤ 4에서 y = (x − 2)² + 1의 최솟값과 최댓값을 구하시오.

풀이 보기

꼭짓점 x = 2가 범위 안에 있으므로 최솟값은 1입니다. 양 끝에서 x = 1이면 2, x = 4이면 5이므로 최댓값은 5입니다.

푸는 순서

  1. 완전제곱식으로 바꿔 꼭짓점을 구한다
  2. 꼭짓점이 주어진 범위 안에 있는지 확인한다
  3. 꼭짓점과 양 끝의 함숫값을 비교해 최대·최소를 고른다

조건이 붙은 문제

문제 0 ≤ x ≤ 3에서 y = x² − 6x + 10의 최솟값을 구하시오.

풀이 보기

y = (x − 3)² + 1이므로 꼭짓점은 x = 3입니다. 범위의 끝에 있으므로 최솟값은 x = 3일 때 1입니다.

두 문제 가운데 하나라도 막혔다면, 첫 체험 수업에서 바로 이 부분부터 짚어 드립니다. 무료 체험으로 확인하기

실제 출제 기록

분석한 3개 회차에서 이 개념을 직접 묻는 문항이 3번 나왔습니다.

제한된 범위에서 이차함수의 최대·최소에서 틀리는 곳

범위를 무시하고 꼭짓점의 y값을 답으로 고르는 실수가 가장 흔합니다. 꼭짓점이 범위 밖이면 꼭짓점 값은 답이 될 수 없습니다.

비슷한 개념과의 차이

범위가 없는 이차함수와 범위가 있는 이차함수는 답이 다를 수 있습니다. 범위가 없으면 꼭짓점의 y값이 최댓값이나 최솟값이지만, 범위가 있으면 꼭짓점이 범위 밖일 때 양 끝값이 답이 됩니다.

위로 볼록한 그래프는 어떻게 다른가요?

x² 계수가 음수면 그래프가 위로 볼록해서 꼭짓점이 가장 높은 점이 됩니다. 이때는 꼭짓점이 범위 안에 있으면 최댓값이 꼭짓점의 y값이고, 최솟값은 양 끝 중 더 작은 값입니다.

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