고졸 수학 · 이차함수 그래프의 꼭짓점과 평행이동
수학에서 「이차함수 그래프의 꼭짓점과 평행이동」 문항은 공식 하나를 정확히 쓰느냐로 점수가 갈립니다. 외울 식, 예제, 흔한 실수를 차례로 봅니다.
이차함수 그래프의 꼭짓점과 평행이동이란
y = ax² + bx + c 꼴의 이차함수는 완전제곱식 y = a(x − p)² + q로 바꾸면 꼭짓점 (p, q)와 축 x = p를 바로 읽을 수 있습니다. 그래프의 이동, 볼록한 방향, y절편을 묻는 문항이 나옵니다.
이차함수 그래프의 꼭짓점과 평행이동 공식
- y = a(x − p)² + q: 꼭짓점 (p, q), 축 x = p
- a > 0이면 아래로 볼록, a < 0이면 위로 볼록, |a|가 클수록 폭이 좁다
- y = ax²을 x축 방향으로 p, y축 방향으로 q만큼 평행이동 → y = a(x − p)² + q
- y절편은 x = 0을 대입한 c
먼저 직접 풀어 보기
문제 y = x² − 6x + 5의 꼭짓점의 좌표를 구하시오.
풀이 보기
y = (x − 3)² − 9 + 5 = (x − 3)² − 4이므로 꼭짓점은 (3, −4)입니다.
푸는 순서
- x² 계수로 묶고 완전제곱식을 만든다
- (x − p)² + q 꼴에서 p, q를 읽는다
- 이동 문항이면 x 자리에 x − p, 끝에 + q를 넣는다
기출과 비슷한 형태로
문제 y = 2x²의 그래프를 x축 방향으로 1, y축 방향으로 −3만큼 평행이동한 식을 구하시오.
풀이 보기
y = 2(x − 1)² − 3입니다.
두 문제 가운데 하나라도 막혔다면, 첫 체험 수업에서 바로 이 부분부터 짚어 드립니다. 무료 체험으로 확인하기
시험에 나온 모습
분석한 3개 회차에서는 이 개념을 직접 묻는 문항이 없었습니다. 다만 이차방정식과 이차함수 단원의 다른 문항을 풀 때 함께 쓰이는 경우가 많아 정리해 둘 가치가 있습니다.
이것만은 조심
완전제곱식을 만들 때 더한 수를 빼지 않는 실수가 가장 많습니다. x² − 6x에 9를 더해 (x − 3)²을 만들었다면 반드시 9를 다시 빼야 식이 그대로 유지됩니다.
이차함수 그래프의 꼭짓점과 평행이동과 헷갈리는 것
꼭짓점과 y절편은 다른 점입니다. 꼭짓점은 그래프가 방향을 바꾸는 점이고, y절편은 그래프가 y축과 만나는 점으로 x = 0을 대입해 구합니다.
a, b, c의 부호로 그래프 모양을 알 수 있나요?
a는 볼록한 방향, c는 y절편의 위치를 알려 주고, a와 b의 부호가 같으면 축이 y축 왼쪽, 다르면 오른쪽에 있습니다. 그래프를 보고 부호를 판단하는 문항이 나옵니다.