고졸 수학 · 항등식과 계수 비교
수학에서 「항등식과 계수 비교」 문항은 공식 하나를 정확히 쓰느냐로 점수가 갈립니다. 외울 식, 예제, 흔한 실수를 차례로 봅니다.
「항등식과 계수 비교」 핵심
항등식은 x에 어떤 값을 넣어도 항상 성립하는 등식입니다. 그래서 양변의 같은 차수 항의 계수가 모두 같아야 하고, 이 성질로 모르는 계수를 구합니다.
공식 정리
- ax² + bx + c = a′x² + b′x + c′가 항등식 ⇔ a = a′, b = b′, c = c′
- 계수 비교법: 전개한 뒤 차수별로 계수를 맞춘다
- 수치 대입법: 계산이 쉬운 x 값(0, 1, −1)을 넣어 식을 세운다
직접 풀어 보기
문제 (x+1)(x+a) = x² + 5x + b가 x에 대한 항등식일 때 a, b를 구하시오.
풀이 보기
좌변을 전개하면 x² + (a+1)x + a입니다. 계수를 비교하면 a + 1 = 5, a = b이므로 a = 4, b = 4입니다.
문제를 보면 이 순서로
- 양변을 전개해 같은 차수끼리 정리한다
- 차수별로 계수를 맞춘 식을 세운다
- 전개가 복잡하면 x = 0, 1, −1을 대입하는 방법으로 바꾼다
예제 하나 더
문제 x² + ax + 3 = (x − 1)(x + b) + 2가 항등식일 때 a, b를 구하시오.
풀이 보기
우변 = x² + (b − 1)x − b + 2입니다. 상수항에서 3 = −b + 2이므로 b = −1, 일차항에서 a = b − 1 = −2입니다.
두 문제 가운데 하나라도 막혔다면, 첫 체험 수업에서 바로 이 부분부터 짚어 드립니다. 무료 체험으로 확인하기
기출에서는 어떻게 나왔나요?
분석한 3개 회차에서 이 개념을 직접 묻는 문항이 2번 나왔습니다.
- 2 항등식의 계수 비교 2025년 제2회
- 2 항등식의 계수 비교 2026년 제2회
감점 포인트
좌변을 전개할 때 일차항 계수를 a+1이 아니라 a로 두는 전개 실수가 많습니다. 전개는 한 줄씩 적으면서 확인합니다.
항등식과 계수 비교과 헷갈리는 것
항등식과 방정식은 다릅니다. 방정식은 특정한 x에서만 성립하고, 항등식은 모든 x에서 성립합니다. 그래서 "x에 대한 항등식", "x의 값에 관계없이 항상 성립"이라는 표현이 있으면 계수 비교를 쓰는 신호입니다.
계수 비교법과 수치 대입법 중 무엇이 빠른가요?
양변을 전개하기 쉬우면 계수 비교법이, 곱해진 식이 복잡하면 수치 대입법이 빠릅니다. 예를 들어 (x − 1)(x − 2)처럼 인수가 드러난 식에는 x = 1, x = 2를 넣으면 한 항이 0이 되어 바로 값이 나옵니다.