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고졸 수학 · 나머지정리

검정고시 수학 「나머지정리」, 무엇을 외우고 어떻게 적용하는지 예제와 함께 정리했습니다.

나머지정리이란

다항식 P(x)를 일차식 x−a로 나눈 나머지는 P(a)와 같습니다. 실제로 나눗셈을 하지 않고 값을 대입하는 것만으로 나머지를 구할 수 있다는 것이 핵심입니다.

나머지정리 공식

직접 풀어 보기

문제 P(x) = x³ − 2x² + 4x − 5를 x − 2로 나눈 나머지를 구하시오.

풀이 보기

x − 2 = 0에서 x = 2를 대입합니다. P(2) = 8 − 8 + 8 − 5 = 3이므로 나머지는 3입니다.

나머지정리 풀이 3단계

  1. 나누는 식을 0으로 만드는 x값을 구한다
  2. 그 값을 P(x)에 대입한다
  3. 계산한 값이 곧 나머지

조건이 붙은 문제

문제 P(x) = 2x³ + ax + 1을 x + 1로 나눈 나머지가 −3일 때 a의 값을 구하시오.

풀이 보기

x = −1을 대입하면 P(−1) = −2 − a + 1 = −3입니다. −a − 1 = −3이므로 a = 2입니다.

두 문제 가운데 하나라도 막혔다면, 첫 체험 수업에서 바로 이 부분부터 짚어 드립니다. 무료 체험으로 확인하기

실제 출제 기록

분석한 3개 회차에서 이 개념을 직접 묻는 문항이 2번 나왔습니다.

감점 포인트

x+2로 나눌 때 +2를 그대로 대입하는 실수가 가장 흔합니다. 대입할 값은 항상 "나누는 식 = 0"을 풀어서 얻은 값이므로 x+2라면 −2를 대입합니다.

구분해 두면 좋은 것

나머지정리와 인수정리는 같은 원리입니다. 나머지정리는 "나머지가 얼마인가"를 묻고, 인수정리는 "나머지가 0이 되는가"를 묻습니다. 그래서 문제에 "나누어떨어진다"가 나오면 인수정리, 나머지 값이 주어지면 나머지정리로 식을 세웁니다.

이차식으로 나눈 나머지도 나머지정리로 구하나요?

이차식으로 나눈 나머지는 일차식 ax + b 꼴이 되므로 값 하나를 대입해서는 구할 수 없습니다. 이 경우 나누는 이차식을 인수분해해 두 근을 각각 대입하고, 두 개의 식을 세워 a, b를 구합니다. 검정고시에서는 일차식으로 나누는 문항이 대부분입니다.

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