고졸 수학 · 원과 직선의 위치 관계
고졸 검정고시 수학의 「원과 직선의 위치 관계」을 정리했습니다. 공식과 예제, 실제 기출에서 어떻게 나왔는지까지 한 페이지로 봅니다.
「원과 직선의 위치 관계」 핵심
원의 중심에서 직선까지의 거리 d와 반지름 r을 비교하면 원과 직선이 두 점에서 만나는지, 접하는지, 만나지 않는지 알 수 있습니다.
시험 전에 볼 식
- d < r : 두 점에서 만난다
- d = r : 접한다
- d > r : 만나지 않는다
- 대입해서 판별식을 써도 같은 결론 (D > 0, D = 0, D < 0)
원과 직선의 위치 관계 예제로 확인
문제 원 x² + y² = 5와 직선 2x + y + k = 0이 접할 때 양수 k를 구하시오.
풀이 보기
중심 (0, 0)에서 직선까지 거리 |k|/√5가 반지름 √5와 같아야 합니다. |k| = 5이므로 k = 5입니다.
푸는 순서
- 원의 중심과 반지름을 정확히 읽는다
- 중심에서 직선까지의 거리 d를 구한다
- d와 r을 비교해 조건에 맞는 식을 세운다
예제 하나 더
문제 원 (x − 1)² + y² = 4와 직선 y = k가 만나지 않을 때 양수 k의 범위를 구하시오.
풀이 보기
중심 (1, 0)에서 직선 y = k까지의 거리는 k이고 반지름은 2입니다. k > 2이면 만나지 않습니다.
두 문제 가운데 하나라도 막혔다면, 첫 체험 수업에서 바로 이 부분부터 짚어 드립니다. 무료 체험으로 확인하기
시험에 나온 모습
분석한 3개 회차에서 이 개념을 직접 묻는 문항이 2번 나왔습니다.
- 12 원과 직선이 만나지 않을 조건 2025년 제1회
- 13 원과 직선의 위치 관계 (접할 조건) 2026년 제2회
자주 하는 실수
원의 방정식에서 반지름을 r²의 값 그대로 쓰는 실수가 많습니다. x² + y² = 5의 반지름은 5가 아니라 √5입니다.
헷갈리는 개념과 구분하기
원과 직선의 위치 관계는 두 가지 방법으로 판단합니다. 중심과 직선 사이의 거리를 반지름과 비교하는 방법과, 직선을 원의 방정식에 대입해 판별식을 보는 방법입니다. 거리 비교가 계산이 짧은 경우가 많습니다.
원의 방정식이 전개되어 있으면 중심은 어떻게 찾나요?
x² + y² + ax + by + c = 0 꼴이면 완전제곱식으로 바꿉니다. x와 y 항을 각각 묶어 (x + a/2)² + (y + b/2)² = r² 꼴로 정리하면 중심은 (−a/2, −b/2)이고 반지름은 오른쪽 값의 제곱근입니다.