고졸 수학 개념 정리

고졸 검정고시 수학에서 자주 쓰이는 개념을 단원별로 모았습니다. 각 개념 페이지에서 공식과 예제, 실제 기출 기록을 볼 수 있습니다.

다항식의 연산과 나머지정리

나머지정리
다항식 P(x)를 일차식 x−a로 나눈 나머지는 P(a)와 같습니다.
P(x)를 x−a로 나눈 나머지 = P(a)
인수정리
다항식 P(x)에 대해 P(a) = 0이면 P(x)는 x−a로 나누어떨어지고, x−a는 P(x)의 인수가 됩니다.
P(a) = 0 ⇔ P(x)는 x−a로 나누어떨어진다
항등식과 계수 비교
항등식은 x에 어떤 값을 넣어도 항상 성립하는 등식입니다.
ax² + bx + c = a′x² + b′x + c′가 항등식 ⇔ a = a′, b = b′, c = c′
인수분해 공식
고졸 수학에서는 중학교 인수분해 공식에 세제곱 공식이 더해집니다.
a³ + b³ = (a+b)(a² − ab + b²)
다항식의 덧셈·뺄셈·곱셈
다항식의 덧셈과 뺄셈은 문자와 차수가 같은 동류항끼리 계수를 더하고 빼는 것입니다.
동류항: 문자와 차수가 같은 항 (3x²과 −x²)

켤레복소수
복소수 a + bi의 켤레복소수는 허수 부분의 부호만 바꾼 a − bi입니다.
z = a + bi의 켤레복소수 = a − bi
판별식
이차방정식 ax² + bx + c = 0의 근이 어떤 종류인지는 판별식 D = b² − 4ac의 부호로 알 수 있습니다.
D > 0 : 서로 다른 두 실근
근과 계수의 관계
이차방정식 ax² + bx + c = 0의 두 근을 α, β라 하면 두 근의 합과 곱을 계수만으로 구할 수 있습니다.
α + β = −b/a
복소수의 사칙연산과 i의 거듭제곱
복소수 a + bi의 연산은 i를 문자처럼 계산하되 i² = −1로 바꾸면 됩니다.
i² = −1, i³ = −i, i⁴ = 1 (4개마다 반복)

제한된 범위에서 이차함수의 최대·최소
x의 범위가 정해진 이차함수의 최댓값·최솟값은 꼭짓점의 위치에 따라 달라집니다.
y = a(x−p)² + q의 꼭짓점은 (p, q)
이차함수의 그래프와 이차방정식
이차함수 y = ax² + bx + c의 그래프가 x축과 만나는 점의 x좌표는 이차방정식 ax² + bx + c = 0의 실근입니다.
D > 0: 서로 다른 두 점에서 만난다
이차함수 그래프의 꼭짓점과 평행이동
y = ax² + bx + c 꼴의 이차함수는 완전제곱식 y = a(x − p)² + q로 바꾸면 꼭짓점 (p, q)와 축 x = p를 바로 읽을 수 있습니다.
y = a(x − p)² + q: 꼭짓점 (p, q), 축 x = p
이차함수의 활용 (최대 넓이·최고 높이)
실생활 문제를 이차함수로 나타내면 꼭짓점에서 최댓값이나 최솟값을 구할 수 있습니다.
구하려는 양을 한 문자에 대한 이차식으로 나타낸다

이차부등식
이차부등식은 이차방정식의 두 근을 구한 뒤 그래프가 x축보다 위인지 아래인지로 해를 정합니다.
a > 0, 두 근 α < β일 때
연립이차방정식
일차식과 이차식이 섞인 연립방정식은 일차식을 한 문자에 대해 정리해 이차식에 대입하는 방식으로 풉니다.
일차식 → y = (x의 식)으로 정리 → 이차식에 대입
삼차·사차방정식
삼차방정식과 사차방정식은 인수분해해서 차수를 낮춰 풉니다.
인수정리: P(a) = 0인 a를 찾으면 x − a가 인수
연립일차부등식
연립일차부등식은 두 개 이상의 부등식을 동시에 만족하는 x의 범위를 구하는 것입니다.
각 부등식을 따로 푼다
절댓값이 있는 일차부등식
절댓값은 수직선에서 원점까지의 거리입니다.
|x| < a (a > 0) ⇔ −a < x < a

선분의 내분점
두 점 A, B를 잇는 선분을 m : n으로 내분하는 점의 좌표는 공식 하나로 구합니다.
A(x₁), B(x₂)를 m : n으로 내분 → (mx₂ + nx₁)/(m + n)
점과 직선 사이의 거리
점에서 직선까지의 가장 짧은 거리는 공식으로 바로 구할 수 있습니다.
점 (x₁, y₁)과 직선 ax + by + c = 0 사이의 거리
원과 직선의 위치 관계
원의 중심에서 직선까지의 거리 d와 반지름 r을 비교하면 원과 직선이 두 점에서 만나는지, 접하는지, 만나지 않는지 알 수 있습니다.
d < r : 두 점에서 만난다
평행이동과 대칭이동
점의 평행이동은 좌표에 이동량을 더하고, 대칭이동은 좌표의 부호를 바꿉니다.
점 (x, y)를 x축 방향 a, y축 방향 b만큼 평행이동 → (x+a, y+b)
두 점 사이의 거리
좌표평면 위의 두 점 사이의 거리는 두 점의 x좌표 차이와 y좌표 차이를 두 변으로 하는 직각삼각형의 빗변입니다.
A(x₁, y₁), B(x₂, y₂) 사이의 거리 = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²)
직선의 방정식과 평행·수직
직선의 방정식은 기울기와 지나는 한 점으로 정해집니다.
기울기 m, 점 (x₁, y₁)을 지나는 직선: y − y₁ = m(x − x₁)
원의 방정식
중심이 (a, b), 반지름이 r인 원의 방정식은 (x − a)² + (y − b)² = r²입니다.
표준형: (x − a)² + (y − b)² = r²

필요조건과 충분조건
명제 p → q가 참일 때 p는 q이기 위한 충분조건, q는 p이기 위한 필요조건입니다.
p → q 참 ⇔ P ⊂ Q (P, Q는 진리집합)
집합의 연산과 원소의 개수
집합은 대상이 분명한 것들의 모임입니다.
A ∪ B: A 또는 B에 속함 / A ∩ B: A와 B 모두에 속함
명제와 역·이·대우
명제는 참인지 거짓인지 분명하게 판별할 수 있는 문장이나 식입니다.
명제: 참·거짓을 판별할 수 있는 문장 ("2는 짝수이다")
부분집합과 부분집합의 개수
집합 A의 모든 원소가 집합 B에 속할 때 A를 B의 부분집합이라 하고 A ⊂ B로 씁니다.
A ⊂ B: A의 모든 원소가 B에 속함

합성함수
합성함수 (g∘f)(x)는 x를 먼저 f에 넣고, 그 결과를 다시 g에 넣은 값입니다.
(g∘f)(x) = g(f(x))
역함수
역함수는 원래 함수의 대응을 거꾸로 뒤집은 함수입니다.
f(a) = b ⇔ f⁻¹(b) = a
유리함수·무리함수의 평행이동
유리함수 y = k/(x−p) + q와 무리함수 y = √(x−p) + q는 기본 그래프를 x축 방향으로 p, y축 방향으로 q만큼 평행이동한 것입니다.
y = k/x → y = k/(x−p) + q : 점근선 x = p, y = q
함수의 뜻과 일대일대응
집합 X의 각 원소에 집합 Y의 원소가 오직 하나씩 대응할 때 이를 함수라 합니다.
함수: X의 모든 원소에 Y의 원소가 하나씩 대응

순열
서로 다른 n개에서 r개를 골라 순서대로 나열하는 경우의 수가 순열 nPr입니다.
nPr = n × (n−1) × … × (n−r+1) (n부터 r개 곱)
조합
서로 다른 n개에서 순서에 상관없이 r개를 고르는 경우의 수가 조합 nCr입니다.
nCr = nPr / r!
합의 법칙과 곱의 법칙
두 사건이 동시에 일어나지 않을 때 경우의 수는 더하고(합의 법칙), 두 사건이 잇달아 또는 동시에 일어날 때는 곱합니다(곱의 법칙). 순열과 조합의 바탕이 되는 원리입니다.
합의 법칙: 사건 A 또는 B (동시에 일어나지 않음) → m + n
곱의 법칙과 약수의 개수
자연수의 약수 개수는 소인수분해와 곱의 법칙으로 구합니다.
N = pᵃ × qᵇ이면 약수의 개수 = (a + 1)(b + 1)